Mathématique

3. COMPETENCE MATHEMATIQUE

A. Définition

‘ La compétence mathématique est l’aptitude à développer et appliquer un raisonnement mathématique en vue de résoudre divers problèmes de la vie quotidienne.

En s’appuyant sur une maîtrise solide du calcul, l’accent est mis sur le raisonnement et l’activité ainsi que sur le savoir.

La compétence mathématique implique, à des degrés divers, la capacité et la volonté d’utiliser des modes mathématiques de pensée (réflexion logique et dans l’espace) et de représentation (formules, modèles, constructions, graphiques, diagrammes).’

Cependant, si tous les élèves ont besoin d’acquérir une aptitude solide au calcul, tous n’ont pas besoin des mathématiques en tant que système abstrait avec des symboles et des relations.

Le pourcentage d’échecs en mathématiques est révélateur du temps consacré, souvent en pure perte, dans l’enseignement.

Il n’empêche que les mathématiques sont nécessaires pour les sciences, la technologie, les TIC et le monde financier.

B. Philosophie

Dès le plus jeune âge, l’étude de la mathématique doit s’effectuer au départ d’objets, de faits vécus et observés dans le réel.

L’accent doit être mis non sur une accumulation quantitative et répétitive d’exercices mais sur une véritable formation mathématique au travers de la construction et du développement d’une compétence essentielle : relever des défis à l’intelligence, résoudre des situations problématiques en recourant tant à l’intuition qu’à la mise en évidence des liens logiques.

La réflexion portée sur cette résolution de situations problématiques conduit à ‘mathématiser ’ le réel et à procéder à des abstractions au départ de celui-ci.

Chaque élève doit également trouver dans son cours de mathématique ce qui correspond à ses capacités et aspirations.

En effet, il faut prendre en considération que la situation problématique est personnelle (elle peut piquer la curiosité de l’un, ne pas intéresser un autre ou ne pas constituer un obstacle pour un troisième), qu’elle n’existe qu’à un moment donné (une fois résolue, elle n’est plus un problème et si elle se représente, elle n’aura plus la même intensité), qu’elle doit être un défi à l’intelligence mais doit rester adaptée au bagage cognitif de l’élève, si on veut qu’il puisse s’y investir vraiment, qu’elle soit enfin dynamisée par l’interaction sociale, par la confrontation des idées.

Ainsi, agir, dessiner, bricoler un schéma sont des modes de présentation et de résolution tout aussi appropriés. Ces modes évitent un formalisme précoce et abusif et correspondent mieux à la plupart des situations non numériques et sont d’une variété qui permet l’adaptation aux différents styles d’apprentissage des élèves.

La résolution de situations-problèmes n’est pas un processus linéaire car elle peut faire appel à plusieurs compétences à la fois parmi les compétences suivantes :

• Reconnaître une situation réelle ou énoncée comme problématique
• Résoudre le problème en prenant en compte tous ses aspects et notamment ses aspects logique, numérique, métrique, opératoire et spatial
• Mettre en œuvre des langages propres à la résolution de problèmes
• Considérer les problèmes résolus comme un départ à des recherches structurantes.

Ensuite,  l’enseignement des mathématiques aura pour but de faire acquérir une formation utile pour gérer les réalités de la vie quotidienne, participer à la vie sociale et culturelle, poursuivre des études à caractère général ou technologique

Vu l’importance de l’implication de l’élève dans sa formation, l’enseignant veillera à susciter l’enthousiasme en proposant des situations stimulantes qui engagent son activité et éveillent sa curiosité ; à rencontrer son intérêt en présentant de manière vivante des matières telles que l’arithmétique et le jeu des nombres (les très grands, les très petits, les négatifs), l’idée centrale de rapport et son utilité pratique, l’usage de calculatrices et de logiciels informatiques, la construction de solides, de l’espace et de figures planes, la découverte de leurs propriétés principales, … ; à recourir aux supports pratiques (le modèle que l’on manipule, le scénario qui illustre une notion) ; à utiliser des représentations qui visualisent les notions et construisent des images mentales telles que la droite numérique, le quadrillage, le papier peint, des tableaux de nombres, des graphiques ; donner l’occasion de relever des défis afin de développer la confiance en soi et la faculté de mettre en œuvre une réflexion personnelle (pensée critique) ; maintenir intérêt et enthousiasme en valorisant à chaque étape sa participation, ce qui suppose également le droit à l’erreur.

‘ Il importe donc que la prise de conscience des notions et des propriétés résulte d’une véritable activité de l’élève.

Cette activité, déclenchée par une situation proposée, s’appuiera sur des compétences spécifiques à la résolution de problèmes à savoir : comprendre un message ; traiter, argumenter, raisonner ; communiquer ; appliquer ; généraliser, structurer et synthétiser’ (Programme 1^ère année 1980)

‘ On n’enseignera donc pas les structures ni les définitions formelles avant que les objets mathématiques ne soient devenus familiers’ (Programme 1^ère année, 1994)

C. Connaissances

• les nombres, les fractions, les mesures (longueurs, capacités, aires, volumes, durées, sommes d’argent, …), les structures
• les opérations fondamentales (y compris connaître de mémoire des résultats d’opération (le double de, la moitié de, les tables de multiplication / de division)
• la décomposition pour faciliter le calcul
• distinguer des êtres géométriques dans les objets familiers (distinguer solides, surfaces, lignes et points) et les nommer
• les représentations mathématiques de base (=, >, <,…)
• la compréhension des termes et notions mathématiques
• la mise en relation de deux ou trois objets selon une seule grandeur
• opérer sur les grandeurs (additionner et soustraire des grandeurs)
• reconnaître les relations de parallélisme et de perpendicularité (reconnaître des faces ou des côtés parallèles ou perpendiculaires)
• la  sensibilité aux problèmes auxquels les mathématiques peuvent apporter une solution

(Voir ANNEXE 3 – MATHEMATIQUE)

D. Aptitudes

• Savoir mathématiser et abstraire par l’observation, le questionnement (comparer, trier, classer, caractériser,…), l’intuition, le choix d’un point de vue simplificateur, la recherche de l’essentiel, l’organisation des informations (rechercher celles qui manquent, mettre en relation les éléments constitutifs de la situation, …), la construction et l’essai de différents modèles mathématiques, l’organisation de synthèses, la formulation de lois, provisoires d’abord et de plus en plus vérifiées ensuite, et leur utilisation dans des situations nouvelles, la discussion et l’interprétation du résultat par la confrontation du modèle à la réalité afin de prouver sa validité et aller vers plus de rigueur
• savoir appliquer les principes et processus mathématiques de base dans la vie quotidienne, à la maison et au travail:
  • comprendre un message (analyser la structure d’un énoncé pour repérer les mots importants, l’articulation entre les différentes propositions / savoir s’il s’agit d’une situation à explorer, d’une propriété à découvrir, d’une synthèse à comprendre, d’un énoncé à étudier, d’un exercice,…/savoir utiliser une table des matières, un index ; situer la portée des signes typographiques et des séparations en chapitres, en paragraphes, …/ prendre en compte le contexte d’un mot ou d’un terme pour en déterminer la signification / interpréter un tableau à double entrée / extraire d’un tableau de nombres une information utile pour la question traitée/ savoir lire un graphique, repérer les grandeurs mises en relation et les échelles utilisées/ savoir reconnaître les signes conventionnels qui permettent de repérer les propriétés des figures géométriques : signes d’égalité, de perpendicularité, le vu, le caché, le trait fin, épais …/ savoir décoder le symbolisme mathématique associé aux situations numériques et géométriques traitées (égalité, inégalité, parenthèses, parallélisme, perpendicularité, …/ comprendre un message oral du professeur ou d’un élève / saisir la portée d’une introduction qui donne un sens global au travail, la portée d’une consigne, d’une explication,…
  • savoir traiter, argumenter, raisonner (savoir discuter les hypothèses, se débarrasser des données superflues, simplifier le problème / savoir transposer l’énoncé en une opération ou une suite d’opérations et vice-versa/ faire un schéma, un dessin et savoir quelles informations l’on peut tirer de l’un ou de l’autre/ avoir recours à un modèle physique (un solide, un développement, des lattes graduées, des gabarits, un calque,…) / savoir morceler un problème/ savoir chercher dans sa mémoire ou dans un manuel une situation semblable / se poser des questions pour établir ou étendre une propriété (Exemple : que se passe-t-il si le triangle est rectangle ? que se passe-t-il si le nombre est décimal ?) / faire un dessin, modifier une donnée / conjecturer un énoncé et établir une propriété / savoir rechercher un exemple pour illustrer une propriété ou rechercher un contre-exemple pour prouver qu’un énoncé est faux/ savoir rechercher des arguments, ses méthodes et résultats et savoir les confronter à ceux des autres élèves/ savoir estimer la vraisemblance des résultats/ savoir persévérer après un essai infructueux / faire ressortir les vraisemblances et les différences entre des propriétés, des situations/ savoir relever des régularités et symétries dans des figures ou dans des expressions numériques / savoir établir des relations entre les propriétés issues de contextes différents / savoir faire des liens entre la géométrie et les nombres / savoir relier différents points de vue sur un même sujet et faire la liaison entre théorie et exercices / savoir utiliser une représentation graphique pour mettre deux grandeurs en relation / savoir utiliser l’idée de rapport dans les aspects géométriques et numériques
  • savoir communiquer (pour poser des questions, exposer ses résultats ou les étapes de sa démarche/ citer l’énoncé que l’on utilise pour argumenter / exprimer un argument / produire un dessin, un graphique, un tableau et savoir choisir le support le mieux approprié à la situation / maîtriser le vocabulaire et les tournures nécessaires pour décrire les étapes d’une construction / savoir rédiger une conclusion)
  • savoir appliquer (pour utiliser directement et dans le même contexte une règle apprise, une méthode, un énoncé / se servir dans un contexte neuf de connaissances acquises antérieurement / savoir étendre une règle, un énoncé à un domaine plus large / savoir utiliser les acquis pour traiter des questions issues d’autres branches)
  • savoir généraliser, structurer et synthétiser (pour déceler une propriété ‘source’ dont les autres découlent / reconnaître une propriété commune à des situations différentes / dégager l’essentiel de l’accessoire / savoir faire le relevé des propriétés rencontrées dans une situation et les organiser)

• savoir suivre et évaluer les différentes étapes d’une argumentation
• être en mesure d’adopter un raisonnement mathématique
• savoir comprendre une démonstration mathématique
• savoir communiquer en langage mathématique
• savoir employer des aides appropriées.

Toutes ces compétences contribuent à façonner une personnalité capable :

• de clarifier ses hypothèses et contrôler son intuition avant d’émettre un jugement
• d’éviter les généralisations abusives
• de fonder sa conviction sur un raisonnement chaque fois que c’est nécessaire ou utile
• d’user d’esprit critique et de rigueur

E. Attitudes

Une attitude positive en mathématique repose sur le respect de la vérité et sur la volonté de trouver des arguments et d’en évaluer la validité.

F. Niveaux de compétence

La résolution réussie d’un problème posé à l’élève est sans conteste le moyen le plus sûr d’évaluer sa compétence même si l’on peut concevoir que l’on puisse prendre en compte également le raisonnement mathématique et la démarche de l’élève, en cas d’erreur de calculs.